Fazendo uso do programa Geometer's Sketchpad construa as figuras dos jogos 2 e 3 e tente descobrir propriedades dos polígonos e relações entre eles.

 

   

    Construa o fractal Triângulo de Sierpinski no Geometer's Sketchpad fazendo uso de um script.

   

   

    Na figura que se encontra a seguir r, s, e t representam três ruas.

    

    Usando o Geometer's Sketchpad:

    a) Determine o local em que se deve construir um depósito de água que fique a igual distância das três ruas.

    b) Se pretendermos instalar um poste de iluminação equidistante dos cruzamentos, onde o deveremos fazer?

 

   

 

    A figura que se segue representa o esboço de parte de um povoado.

    Usando o Geometer's Sketchpad, represente o local da rua AB onde deverá ser colocada uma cabine telefónica que fique à mesma distância das ruas Ac e BC. Assinale a rua com menor comprimento que será aberta da cabine até à rua BD.

 

 

A circunferência dos nove pontos

Em 1821, o matemático francês Poncelet demonstrou que para todo o triângulo é possível encontrar uma circunferência passando pelos seguintes pontos:

  - os pontos médios dos lados

  - os pés das alturas

  - os pontos médios dos segmentos que unem os vértices do triângulo ao ortocentro (ponto de encontro das alturas)

A esta circunferência é costume chamar a circunferência dos nove pontos.

Usando o Geometer's Sketchpad:

1. Construa um triângulo e seguidamente a respectiva circunferência dos nove pontos.

2. Verifique os teoremas seguintes:

Teorema A: O raio da circunferência dos nove pontos tem um comprimento igual a metade do comprimento do raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Teorema B: O centro da circunferência dos nove pontos está sobre a recta de Euler, a meia distância entre o ortocentro e o circuncentro.

Nota: A recta de Euler é a recta definida pelo ortocentro e pelo circuncentro de um triângulo.

Teorema C: A circunferência dos nove pontos é tangente à circunferência inscrita e os três circunferências ex-inscritas do triângulo.

 

COMENTÁRIO

Na resolução desta actividade, talvez o primeiro problema que se coloca é, tendo os nove pontos marcados, como traçar a circunferência visto que o programa Geometer's Sketchpad apenas constrói circunferências se tivermos o centro e o ponto ou o centro e o raio. Mas este problema facilmente é ultrapassado fazendo uso do comando "arc by three points". A maior dificuldade poderá surgir quando nos é pedido para verificarmos o teorema A pois, para fazermos esta verificação, precisamos de marcar o centro da circunferência, para determinarmos o raio.  Um processo através do qual é possível determinar o centro da circunferência é o seguinte: designemos por P um dos nove pontos da circunferência. Tracemos uma tangente t em P à circunferência. Em seguida, tracemos uma perpendicular p à recta t em P. Seja Q o ponto de intersecção de p com a circunferência. O centro da circunferência é o ponto médio do segmento PQ. Mas como aplicar este processo utilizando o programa? Visto que o programa não tem um comando que permita traçar tangentes à circunferência, não é possível este processo.

O que é de salientar é que, como o programa não faz tudo aquilo que manualmente é possível fazer, é necessário fazermos uso de outros conhecimentos de Geometria. Este programa obriga-nos a pensar acerca dos conceitos de Geometria e a arranjar processos alternativos que, caso estivéssemos a resolver normalmente, certamente não utilizaríamos. Permite que nos apercebamos da interligação que é possível estabelecer entre diferentes noções de Geometria, o que é extremamente importante.

 

 

 

FICHA DE TRABALHO

    Verificar que os triângulos com a mesma área podem não ter o mesmo perímetro.

    1- Trace um segmento de recta.

    2- Defina uma recta paralela ao segmento anterior.

    3- Construa um triângulo considerando o terceiro vértice sobre a recta.

    4- Desloque este vértice ao longo da recta.

    5- Trace a altura em relação à base.

    6- Complete a figura de modo a obter os elementos necessários para a resolução do problema.

         Que conclusão pode tirar sobre as áreas dos vários triângulos?

    7- Marque os triângulos necessários e determine as suas medidas.

    8- Preencha o quadro anexo.

lado 1

lado 2

base

perímetro

altura

área

           
           
           
           

          E agora já pode responder à pergunta?

 

 

        Mais actividades, utilizando o Geometer's Sketchpad, podem ser encontradas em...

 

    http://forum.swarthmore.edu/sketchpad/intro/riedy.labs.htm

    Exploração da rotação e translação; área de um paralelogramo; área de um rectângulo.

        

    http://www.geom.umn.edu/education/math5337/gsp/

    Conjunto de problemas que ajudam a uma familiarização geral com o programa.